Portiere classe 1960, di Casoria, Giacomo Zunico ha debuttato in serie D nel 1978 con il Succivo e l’anno successivo è passato al Gladiator, una squadra di Santa Maria Capua Vetere militante in Serie D. Nel settembre del 1980 ha debuttato con la Sangiovannese in Serie C2.

L’anno dopo giocò al Varese. Con la squadra lombarda ha giocato per cinque stagioni, di cui quattro in Serie B e una in Serie C1. Nel 1986 passò al Catanzaro, dove ha disputato tre stagioni, ottenendo la promozione in B.

Ha giocato nel Parma come portiere titolare nella stagione 1989-‘90, annata della prima promozione in Serie A dei ducali allenati da Nevio Scala.

Nel 1990 venne ingaggiato dal Lecce, con cui ha esordito per la prima volta in Serie A: il 9 settembre 1990 in Lecce-Napoli (0-0).

La serie A, però, si rivelò in quella circostanza molto breve e precaria, con ben 40 gol subiti e la retrocessione in B.

Nel settembre del 1991 venne ingaggiato dal Cosenza, dove giocò prevalentemente in serie B (in totale sei stagioni).

Nella stagione 1996.’97 giocò nel Brescia. Con la squadra lombarda Zunico riconquistò la Serie A, dove, a 37 anni, disputò 7 partite. A fine anno è ritornato ancora al Cosenza, dove ha terminato la carriera calcistica in Serie B.